Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{2} + 15 x + 25 = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ et dont la somme est $b = 15$ .

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Étape 1.2.2.1.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 x$ .

$2 x^{2} + 15 (x) + 25 = 0$

Étape 1.2.2.1.1.2

Réécrivez $15$ comme $5$ plus $10$

$2 x^{2} + (5 + 10) x + 25 = 0$

Étape 1.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 5 x + 10 x + 25 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + 5 x) + 10 x + 25 = 0$

Étape 1.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x + 5) = 0$

Étape 1.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 1.2.2.3

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Résolvez $2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 1.2.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 1.2.2.4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 1.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 5) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{2}, - 5$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $\frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $15$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4.1.5

Additionnez $0$ et $25$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Étape 2.2.4.2.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = \frac{25}{0 + 0 - 16}$

Étape 2.2.4.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 16}$

Étape 2.2.4.2.5

Soustrayez $16$ de $0$ .

$y = \frac{25}{- 16}$

Étape 2.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{25}{16}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - \frac{25}{16})$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - \frac{25}{16})$

Étape 4